Tauschaufgaben, Umkehraufgaben, Aufgabenfamilien mit Farbigen Stäben

Durch die Cuisenaire Stäbchen kann man auf einfache Art Aufgabenfamilien darstellen und damit für Kinder auf verständlich erklären, was Tauschaufgaben und Umkehraufgaben sind. Dieses Spiel mit den Zahlen ist eine notwendige Vorbereitung um verschiedene Techniken für effektive Addition und Subtraktion mit größeren Zahlen einzuüben.

Tauschaufgaben
Zunächst sollten Tauschaufgaben "erklärt" werden. Ich finde, dass es bei Verwendung der Cuisenaire Stäbchen im Grunde nur sehr wenig Erklärung braucht. Die Stäbchen müssen auf einer ordentlichen Fläche sauber angeordnet gelegt werden, während dazu entsprechend dem Legevorgang gesprochen wird. Überhaupt ist die Legeart der Stäbchen des Geheimnis des bildlichen Verständnis. Im zweiten Schritt sollen die Kinder die Stäbchen selbst legen, während sie dazu sprechen. 

 

In einem Aufgabenheft der 1. Klasse würde die Aufgaben wie folgt als Zweierpäckchen angeordnet sein:

7 + 5 = _

5 + 7 = _

Einige Aufgaben später dann nur noch:

7 + 5 = _

5 + _ = _

Und nach weiteren Aufgaben soll das Kind die zweite Aufgabe völlig selbständig schreiben.

Umkehraufgaben
Als nächsten Schritt führt man die Umkeraufgaben bildlich ein.

 

Auch hier werden die Aufgaben Stück für Stück erklärt und mitgeschrieben, z.B. 

 8 + 4 = 12

12 - _ =  _

dann

8 + 4 = _

_ - _ = _

Meiner Tochter hat die grüne Schreibweise auf dem Foto später sehr bei Aufgaben mit Freistellen geholfen. 

Aufgabenfamilien

Schließlich kommt man zu den Aufgabenfamilien. Es wird eine Aufgabe gelegt und mit den Stäbchen das Ergebnis ermittelt. Nun stellt sich die Frage, welche 4 Aufgaben mit diesen 3 Zahlen gebildet werden können.

Auch hier lässt sich gut die grüne Schreibweise von den Fotos oben einsetzen, denn diese wird auch in den Standard-Matheheften verwendet und die Kinder haben dann gleich ein Bild für diese abstrakte Schreibweiese. Gerade mit abstrakten Darstellungen hatte meine Tochter immer Schwierigkeiten, sei es dieser Kreislauf oder das schriftliche Rechnen über den Zehner. Sie hat immer nur viele Linien und Kästchen gesehen, ein großes Geheimnis vermutet und versucht aus dem Zusammenspiel aller Aufgaben einer Seite ein System zu basteln.

Man könnte auch Karteikarten verwenden, auf denen die 3 Zahlen einer Zahlenfamilie im Dreieck anordnet sind (die größte Zahl oben an einer Spitze und die anderen beiden links und rechts unten) und das Kind auffordern hierzu die Aufgaben zu legen. 

Oder man wählt 3 Stäbchen aus dem Kasten (wobei 2 Stäbchen zusammen das Dritte ergeben müssen) und lässt sein  Kind hierzu die 4 Aufgaben nennen. Gerade diese schnelle Übung kann ich empfehlen. Sie zielt nur auf das Verstädnis ab. Das langwierige Schreiben wird dem Kind erspart und es kann mit den Stäben hantieren und erlerntes Wissen immer wieder abrufen. Auch kann es nicht auf ein falsches Ergebnis kommen, denn es hat ja nur die drei Stäbe. Es ist also auch selbstüberprüfend.

Halbieren und Verdoppeln mit Farbigen Stäbchen

Halbieren und Verdoppeln von Zahlen ist eine wesentliche Strategie um effizienter zu einem Ergebnis zu kommen. Mit den Cuisenaire Stäbchen kann man das Vorgehen auch bei große Zahlen gut visualisieren. Ich habe hier auf die Beispiele aus "Mathematik begreifen", Arbeitsheft 2, 1. Teil, aus dem Klett-Verlag zurück gegriffen. 

Verdoppeln von Zahlen

Zu diesem Zeitpunkt sollte das Kind 7 + 7 im Kopf addieren und zu 40 hinzuzählen können. Die Darstellung mit den Farbigen Stäbchen ordnet noch einmal die notwendigen Schritte, Zehner zu Zehner, Einer zu Einer. 

Halbieren von Zahlen

Beim halbieren der Zahlen sollte zunächst mit vollen Zehnern begonnen werden um z.B. bei 10,30,50,70 usw. das Halbieren der vollen Zehner zu üben.

 

Im weiteren muss aufgezeigt werden, wie vorzugehen ist, wenn ein Zehner und ein Einer halbiert werden muss, da hier gedanklich 2 Schritte erfolgen müssen.

 

 

Cuisenaire Stäbchen im Unterricht

Die farbigen Stäbchen sind hierzulande zur Zeit nicht besonders beliebt. Viel lieber wird auf Perlenmaterial nach Montessori oder auf den Abakus zurückgegriffen. In anderen Ländern werden die Stäbchen weit heufiger genutzt, auch im Unterricht. Daher sind die folgenden Seiten auch auf englisch. Oft sind aber schöne Bilder dabei, die einen inspierieren.

Eine Lehrerin aus Kentucky zeigt hier, wie sie die Stäbchen in vielfältiger Weise im Unterricht einsetzt. Insesondere die Addition langer Aufgaben, die Ermittlung von Zahlenfamilien und das Vergleich von Zahlen mittels einer Waage finde ich toll. Letzteres habe ich mit meiner Tochter auch gemacht und mir hierfür die Waage aus der Schule ausgeliehen. 
 
Auf dieser Seite erklärt ein Lehrer, wie man die Stäbchen für Gleichungen einsetzen kann und ein anderer Lehrer zeigt hier und hier wie er es im Unterricht umgesetzt hat. Auch lässt sich die Bruchrechnung wunderbar am Zahlenstrahl darstellen, wie eine ehemalige Lehrerin hier zeigt.

Dass sich die Platten des mathematischen Würfels beim Zerlegen von Zahlen einsetzen lassen, zeigt eine Homeschooling-Mutter in diesem Video und ein schönes Spiel zur Multiplikation mit Hilfe der Stäbchen stellt Sandra Ball in diesem PDF-Dokument zur Verfügung. Das Spiel selbst findet sich auf Seite 14. Aber auch die anderen Seiten sind voll von Ideen, wie man die Stäbchen einsetzen kann.

Ein ganz besonderer Fund ist dieses alte Dokument hier. Es ist noch mit der Schreibmaschine geschrieben und zeigt auf, wie man die Stäbchen langsam in den Unterricht einführt und später verwendet.

Auch bei Picasa kann man einige schöne Bilder finden, die zeigen, was alles möglich ist.

Falls die Stäbchen für die Mitnahme mal zu kompakt sind, kann man bei wiley sich Stäbchen auf Papier ausdrucken. 

Und für alle, die genauso begeistert von den Stäbchen sind, wie ich: so ein rod rack wäre eine sinnvolle Ergänzung. Ich konnte ihn aber hier in Deutschland noch nirgends entdecken. Es handelt sich dabei um ein spezielles Lineal, in welche man die Stäbchen passgenau einsetzen kann. Es gibt sie in unterschiedliche Längen bis zu 100 cm.

Multiplikaton und Kernaufgaben - Beobachtungen

Ich habe gerade mit meiner Tochter mit der Multiplikation begonnen. 

Ihr Heft (Mathematik begreifen, Klett, 2. Schuljahr, 2. Hälfte) gibt nach einigen praktischen Übungen als Start die Zweier-Reihe vor. Wir haben jede Aufgabe gelegt und besprochen. Ihr war gleich klar, dass sie die Zahl nur verdoppeln muss. Super, dachte ich, und habe am nächsten Tag direkt die Dreier-Reihe besprochen. Auch bei dieser kam sie über Addition immer direkt zum richtigen Ergebnis.

Diese beiden Reihen habe ich dann auf Karteikarten geschrieben und ging davon aus, dass wir diese jetzt einfach so lange üben, bis sie das Ergebnis auswendig kann. Und 2x2, 3x2 oder 2x3 waren auch kein Problem. Aber 9x2 oder 4x3 schon. Klar, die Aufgaben sind ungleich größer und sie kann nicht auf eine schriftliche Additionsaufgabe oder die gelegten Stäbchen als Grundlage zurück greifen. Sie braucht also erst mal ein verlässliches Bild von der Aufgabe, eine innere Vorstellung.

Als ersten Schritt habe ich sie nur die auf der Karte angezeigte Aufgabe legen lassen, also bei 5x2 legte sie dann 5 senkrechte rote Zweier. Sie prägt sich ein Bild und eine Lese- bzw. Legerichtung ein. Ein innerer Plan, die erste Zahl sagt die Anzahl, die zweite Zahl die Einheit. Somit kommt es auch nicht zu einer Verwirrung bei Multiplikation mit der 0.
Als zweiten Schritt habe ich mich dazu entschlossen, dass sie zunächst nur die Kernaufgaben (1x..., 2x..., 5x...,10x...) jeder Zahl und Quadratzahlen auswendig lernen soll, so wie es hier beschrieben ist.

Bei der Einer-, Zweier- und Dreier-Reihe kennt sie die die Kernaufgaben und deren Ergebnis schon. Ich gebe ihr dann eine der anderen Aufgaben dieser Reihen und fordere sie auf, die Aufgabe so zu legen, dass sie die Kernaufgabe beim Rechnen benutzen kann.  

Kernaufgaben: 1x2, 2x2, 5x2, 10x2

3x2, dargestellt durch 2x2 + 1x2

4x2, dargestellt durch 2x2 + 2x2

6x2, dargestellt durch 5x2 + 1x2

7x2, dargestellt durch 5x2 + 2x2

8x2, dargestellt durch 5x2 + 2x2 + 1x2

10x2, dargestellt durch 10x2 - 1x2

Hat sie die Aufgabe erst einmal wie oben gezeigt dagestellt, addiert sie nur noch die Teilergebnisse. Instinktiv geht dabei Punktrechnung vor Strichrechnung. Wieder eine Basis für später.

Mein Mann meinte, dass sie ja auch ganz stur die Reihen wie ein Gedicht üben könnte, also 0x2=0, 1x2=2, 2x2=4... haben wir doch früher auch so gelernt. Und in ihrem Fall finde ich diese Idee auch gar nicht schlecht, da sie besonders gut lernt, wenn sie etwas sieht. Außerdem lernt sie Gedichte in einem atemberaubenden Tempo. Ich könnte ihr also Übersichten zu jeder Reihe schreiben, die optisch auffällig sind und die Kern- und Quadrataufgaben hervorheben. Immer viele Sinne ansprechen! Dies werde ich mir für den Zeitpunkt aufheben, an dem sie die Kernaufgaben der ersten 5 Reihen runter spulen kann. Ich hoffe wir kommen zu diesem Punkt.

Was ich bemerkenswert finde ist, dass sie bereits dank der Stäbchen das Kommutativgesetz verstanden hat. In der Schule wurde gefragt, was 10x6 ist.  Sie hat sich gemeldet und gesagt, dass dies 60 ist, weil 6x10 60 ist. Wir hatten dies zuvor aus irgend einem Anlass schon mal mit den Stäbchen ausprobiert. Sie hat dadurch verstanden, dass man bei Multiplikation einfach die Zahlen tauschen und dies dann beim Rechnen einfacher sein kann. Und die Zehnerreihe beherrscht sie fast sicher. 

 

 

Hier finden sich Auszügen aus einem alten Lehrbuch, welches aufzeigt, wie man die Stäbchen noch bei der Multiplikation einsetzen kann. Irgendwie für Fortgeschrittene und doch wieder schön einfach.

Eine Anmerkung meiner Tochter hat mich heute verblüfft. Sie muss, so oft es geht, Addition und Subtraktion von zwei- und einstelligen Zahlen üben. Ich schreibe ihr hierfür eine Doppelseite Aufgaben, schön ordentlich, Trennstrich, farbige Lösungskästchen. Ich finde das äußere Ordnung die innere Ordnung folgt. Und zudem kann sie sich so besser orientieren. In ihrer Schule gab es in den ersten zwei Jahren keine Mathehefte. Die Kinder haben lauter Arbeitshefte und Kopierzettel, aber kein Heft. Aufgaben haben sie dann auf weißes Papier geschrieben, aber nicht systematisch, sondern quer, längs und nebeneinander. Gruselig. 
Jedenfalls bearbeitete sie eine Aufgabe wie 42 + 19 und sagte: "Früher wußte ich nicht was nach 20 kommt, ich dachte da kommt 30. Deswegen konnte ich das nich rechnen. Ich dachte auch vor 50 kommt 59. Deswegen." Sie kann heute sehr gut Denkfehler und Nichtwissen sehr gut benennen. Also immer fragen, die Erklärung der Fehler bringt einen erst weiter. 

24 Aufgaben, 9 Minuten, 0 Fehler

 

Simultanerfassung als Vorläuferfähigkeit zum Rechnen und Wenzel-Würfel

Das Erkennen von Mengen ist Grundlage für die Rechenfähgkeit. Voraussetzung hierfür ist die Simultanerfassung von Symbolen, d.h. die Fähigkeit eine Anzahl von mehreren Dingen zu erfassen, ohne diese abzählen zu müssen. Vorschulkinder können meist 4 Dinge aufeinmal erkennen. Diese Fähigkeit steigert sich während unseres Lebens bis zum vierzigsten Lebensjahr und ist dann wieder rückläufig.
Durch Forschungen wurde festgestellt, dass rechenschwache (und auch legasthene) Kinder überwiegend Schwierigkeiten haben, mehrere Dinge bei einem kurzen Blick zu erfassen.

Bei meiner Tochter habe ich die Erkennung unsortierter Mengen mit den Einern des Cuisenaire-Kastens geübt, so wie es hier beschrieben ist. Durch die Übung wurde sie sehr viel besser und ich denke, dass wir damit überhaupt erst den Grundstein für ihre Fortschritte gelegt haben.

In der Schule gibt es in der ersten Klasse nur wenig Zeit diese Übung regelmäßig einzubauen. Oftmals werden den Kindern zum Erlernen des Mengenbegriffs Arbeitsblätter vorgelegt, bei welchen sie bestimmte Mengen einkreiseln müssen. Diese Aufgabe wird dann meist zählend gelöst. Es entsteht dabei keine Vorstellung von der Zahlenmenge und Veränderlichkeit. Angestrebt werden sollte, dass das Kind auf Anhieb eine bestimmte Menge erkennt und hierdurch sich auch größere Mengen auf einen Blick strukturieren kann. So liegen zum Beispiel 7 Münzen auf einem Tisch. Es sollte auf Anhieb 4 erkennen und gleichzeitig auch merken, dass noch weitere 3 wahrnehmen und auch nach abdecken diese Mengen addieren können. 

Ich habe gute Erfahrungen mit der Verwendung von Materialien gemacht, die man anfassen kann. Hierdurch werden mehr Sinneskanäle angesprochen und unterhaltsamer stelle ich mir dies auch vor. 
Der Einsatz von Kopien und Einkreiselübungen käme für mich erst danach.
 
Eine andere Möglichkeit, das Erkennen von Mengen zu üben, ist durch schnelles Aufdecken. Man sitzt sich mit dem Kind gegenüber und legt eine kleine Anzahl von Gegständen (Murmeln, Glassteine oder ähnliches) hinter ein Blatt. Hierbei sollte mit kleinen Mengen (2 - 3) begonnen werden. Dann habt man das Blatt kurz an, deckt wieder ab und fordert das Kind auf diese Menge zu benennen. Dann verändert man die Menge oder die Position der Gegenstände und führt diesen Vorgang erneut durch. Wirklich erhöhen sollte man erst dann, wenn eine Menge immer richtig benannt wird. Die Fehlerquote muss bei Null liegen. Hier findet man dazu viele gut beschriebene Übungen, die aufeinander aufbauen und die ein Kind beherrschen sollte, um im Zahlenraum bis 10 rechnen zu lernen. 

Auf einer Seite im Internet fand ich den Wenzelwürfel. Im Grunde ein ganz normaler Würfel, dessen Punkte jedoch nicht in der üblichen Würfelart angeordnet sind. Ich finde ihn toll, weil eine Menge immer wieder anders dargestellt wird und er bei ganz normalen Würfelspielen eingesetzt werden kann. Problematisch ist für mich, dass viele Kinder schon Schwierigkeiten mit 4 sich verändernden Punkten haben und ich mich frage, wie sie dann mit 5 und 6 klar kommen. Aber man würfelt ja nicht immer 5er und 6er und so wird wohl langsam ein Lerneffekt eintreten. Das Kind kann hierdurch erfahren, dass es egal ist, wie die Punkte angeordnet sind. Des hat keinen Einfluss auf die Menge an sich. 
Es ist im Grunde das, was ich auch empfohlen habe. Schnelle Lageveränderung und Benennen der Anzahl.