Umkehraufgaben Multiplikation / Division

Seit ca. einem Jahr poste ich von den Cuisenaire Stäbchen. Ich wollte meine Begeisterung über die vielfältigen Möglichkeiten teilen, weil ich im Internet so wenig dazu fand. Aber langsam kommt das Ende in Sicht. Denn die Stäbchen eignen sich eben am besten für die Klassenstufen 1 - 4 mit Schwerpunkt 1. und 2. Klasse. 

Meine Tochter bearbeitet derzeit in der Schule Multiplikation bis zur 10er Reihe und wohl auch schon Division. Zu Hause sind wir derzeit bei der 5er-Reihe und auch erst bei der Division bis 5. Aber wir gehen auch langsamer vor. Jede Reihe für sich, legen mit Stäbchen, auswendig lernen, Zusammenhänge klären, siehe unten.

Bald wird sie mit der Addition im Hunderter Raum beginnen und ich werde auf den Tausender Würfel usw. zurückgreifen und weiter die "Mathematik begreifen"- Reihe vom Klett Verlag verwenden. Denn ganz ohne Veranschaulichung zu Hause wird es wohl nicht gehen.
Zukünftig werde ich also weniger Posten. Ein paar Sachen habe ich noch geplant, aber es wird sicher weniger. Ich werde öfter mal berichten, wie es bei meiner Tochter läuft, ob sie es schafft, bis zum Ende der 3. Klasse gleichzuziehen, Bruchrechnung versteht und vom Mathematikunterricht in den höheren Klassen.

Umkehraufgaben Multiplikation /Division
Meine Tochter beginnt nun parallel zur Multiplikation mit der Division. Ebenso wie bei den Zahlenfamilien der Addition/Subtraktion (Umkehr- und Tauschaufgaben), hat sie zwischen der Multiplikation und Division zunächst keinen direkten Zusammenhang hergestellt. Sie lernt halt einfach Multiplikation und Division auswendig. Erkennt sie, dass sie die Multiplikation zur Division umkehren kann, hält sie es für einen „Trick“ und braucht schon ein wenig Überzeugung, damit sie glaubt, dass dies bei allen Multiplikationsaufgaben funktioniert. Daher habe ich es ihr wieder mit den Stäbchen gezeigt, wie Multiplikation und Division zusammenhängen. 

Bei der Addition sehen Tausch- und Umkehraufgaben wie folgt aus:

 

 Bei der Multiplikation funktionieren Tausch- und Umkehraufgaben ebenso:

 

 

Bei der Division würde ich empfehlen bei der Sprache klar nach Anzahl und Maß zu unterscheiden, z.B.2 (Anzahl) von den gelben 5ern (Maß). So wird auch klar, dass, wenn man einen orangenen Zehnerstab in rote 2er zerlegen soll, die Anzahl der 2er (5 Stück) herauskommt.

Hier finden sich ab Seite 21 schöne Spielideen zur Multiplikation und Division.

Multiplikation von Brüchen mit Cuisenaire Stäbchen

Da ich immer wieder davon schwärme, was alles mit den farbigen Stäbchen möglich ist, wollte ich unbedingt auch zeigen, wie Multiplikation von Brüchen dargestellt wird. Immer wieder schaute ich mir Videos dazu an und verzweifelte, weil dem Gesehenen nicht recht folgen konnte. Wie immer ist es - wenn man es erst einmal verstanden hat - ganz leicht:

Beispiel 1:  1/2 x 1/3

Zunächst muss der gemeinsame Nenner beider Brüche ermittelt werden, indem man rote zweier und grüne Dreier so lange aneinanderreiht, bis sie auf gleicher Höhe abschließen, vgl. hier.

 

 

Zu beachten ist, wie man eine Multiplikationsaufgabe von Brüchen liest. Das Malzeichen wird als "von" gelesen. Was 1/3  ist, wenn das Ganze 6 ist, haben wir oben ermittelt: ein roter Zweier.

 Von diesem Dreier wollen wir aber nur die Hälfte: 

Ergebnis: 1/6.

Das mutet sehr kompliziert an. Und das ist es auch, wenn man bedenkt, dass man nur lernen muss den Zähler mal dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner zu multiplizieren um durch Rechnen zum Ergebnis zu kommen. Ich wollte hier nur aufzeigen, dass es geht und wie es geht.

Nun ein aufwändigeres Beispiel: 7/3 x 2/5

Das besondere an diesem Beispiel ist, dass 7/3 ein Bruch ist, der auch als gemischter Bruch dargestellt werden kann.

In diesem Fall kann man die ganze Zahl und den Bruch zur Vereinfachung beim Multiplizieren trennen, so dass man 2 x 2/5 plus 1/3 x 2/5 rechnet.

 

Nachdem das Ergebnis der Multipliktaion mit der ganzen Zahl errechnet ist, kann der Restbruch Multipliziert werden. Man beginnt wieder mit der Bildung des gemeinsamen Nenners.

Der gemeinsame Nenner von 1/3 und 2/5 ist 15. Dadurch wird auch klar, dass ein grüner Dreier ein 1/ 5 von 15 und ein gelber Fünfer 1/3 von 15 ist. Da sich die Frage stellt, wieviel 1/3 von 2/5 ist, braucht man 2 grüne Dreier, da ein Dreier 1/5 ist. Von jedem Dreier braucht man ein 1/3, sprich einen Einer. 

Das 2. Zwischenergebnis ist also 2/15. Nun müssen die beiden Teilergebnisse addiert werden, indem man einen gemeinsamen Nenner bildet, den Zähler entsprechend erweitert und addiert. Das Gesamtergebnis ist demnach 14/15. 

Es braucht nicht weniger als 3 Blätter für den Legeweg/ Rechenweg - aber faszinierend ist das ganze schon. 

Karteikarten und Kommutativgesetz bei der Multiplikation mit den Farbigen Stäben

Meine Tochter hat nun geschafft, was ich ihr versprochen hatte. Vor knapp einem dreiviertel Jahr habe ich ihr versprochen, dass sie zu Weihnachten die Multiplikation kann. Damals eigentlich unvorstellbar. Gut, sie kann die Multiplikation natürlich noch nicht auswendig und wir sind auch erst bei der 5er-Reihe. Aber das System hat sie verstanden.

Vor 2 Tagen kam sie mit einem Heft für Multiplikation nach Hause und berichtete stolz, dass sie schon am ersten Tag die Hälfte geschafft hat - 27 Seiten. Okay, ein paar Seiten hat sie ausgelassen. Das Einkringeln von Gegenständen war ihr zu langweilig. Es waren zwar nicht alle Aufgaben richtig, aber sie konnte ihr Wissen zu den kleineren reihen schon gut auf die größeren übertragen. 

Zu Hause arbeiten wir ganz konservativ mit Karteikarten. Meiner Tochter hilft es beim Lernen die Aufgabe zu sehen. Sie kann sich so besser konzentrieren, als wenn ich die Aufgabe nur ansagen würde. 

Ihre Karten habe 2 Besonderheiten. Zum einen habe ich die Kernaufgaben mit einer roten Kante versehen. Zum anderen sind auf vielen Karten eine kleine Hilfsaufgabe mit Bleistift vermerkt. Kernaufgaben sind alle bei denen die Zahl der entsprechenden Reihe mit 2, 5 oder 10 multipliziert wird oder Multiplikation mit zwei gleichen Zahlen.

 

 

 

Die Hilfsaufgaben sind Aufgaben, die auf die Kernaufgaben zur Berechnung zurückgreifen, z.B. 4x3 = 5x3-3. Irgendwann wird die Berechnung über diesen Hilfsweg überflüssig, weil das Ergebnis automatisiert ist.

Auf dem unteren Foo sieht man "Hilfsaufgabe" einfach einen Pfeil. Meine Tochter vergisst manchmal, dass man laut Kommutativgesetz bei der Multiplikation die Faktoren einfach tauschen kann. Sie addiert dann tapfer 5 Mal die 3 im Kopf und kommt natürlich zum richtigen Ergebnis. Aber 3x5 ist natürlich sehr viel schneller gerechnet und nicht so fehleranfällig. 

Cuisenaire Stäbchen und Kommutativgesetz
Das Kommutativgesetz lässt sich auch wunderbar mit den Stäbchen darstellen und den Kindern beweisen, dass man die Zahlen (Faktoren) einfach tauschen kann und das gleiche Ergebnis rauskommt. Dies hilft dann wieder beim Lernen der Multiplikations-Reihen.

 

 

 

Ein paar Schwierigkeiten hat meine Tochter nach eigener Aussage mit der Zehnerreihe. Die 10er-Reihe ist Bestandteil der Kernaufgaben und sowohl beim überschlagenden Rechnen als auch bei der 9er-Reihe äußerst hilfreich. Daher habe ich mit ihr einfach nochmal die Zehnerstäbe gelegt und die 10er-reihe dazu aufgesagt.

Nachdem nun meine Tochter den Anschluss an zumindest einen Teil der Kinder geschafft hat - es sind überraschend viele -, könnte ich mich ja nun entspannt zurücklehnen. Nur hat sie den Anschluss nicht durch die Schule, sondern durch unsere Arbeit zu Hause geschafft. Ich habe Angst, dass die Erklärungen, die sie jetzt bekommt, trotzdem nicht dem entsprechen, was sie braucht um dem Unterricht folgen zu können. 
Leider wird aber auch die Multiplikation wieder mit einem Heft geübt, dass zum Selbststudium überlassen wird. Und gerade mit dieser sehr selbständigen lernweise hat meine Tochter Probleme. Zudem sind auch diese Hefte wieder überladen mit Zeichnungen und witzigen Dialogen, die aber nur wenig der Vermittlung des Stoffes, sondern der Unterhaltung dienen.