Dienes Material - Montessori Mathematischer Würfel

Vor kurzem habe ich für die Arbeit mir meiner Tochter einen mathematischen Würfel sowie die dazugehörigen Platten, Stangen und Einer gebraucht gekauft. So hat mich der Tausender Würfel, 20 Hunderter-Platten, 10 Zehner-Stangen und 100 Einer 23 € gekostet. Neu gibt es das Material zum Beispiel hier und man ist mit ca. 39 € dabei.

Das Dienes-Material eignet sich hervorragend zur Erklärung des Dezimalsystem und der Bündelung von Zahlen. Es wird vorallem in der Mengenlehre, im Kindergarten, im Grundschulbereich und Sekundar 1 eingesetzt, wenn es um die Erweiterung des Zahlenraumes geht.
Meine Tochter spricht immer öfter von Zahlen im Hunderter Raum und falls es zu fragen kommt, möchte ich diese auch irgendwie darstellen können.

 

 

 

 

Die farbigen Würfel hat mir die Verkäuferin mit dazu gegeben. Sie hat sie als Hilfe beim Zählen eingesetzt. Ich nehme an, dass dies eine Hilfe für Kinder ist, die beim Zählen der Stangen und Platten leicht durcheinander kommen und finde die Idee wirklich gut.
Hier und hier kann man sehen, wie Kinder mittels dem Material die schriftliche Addition besser verstehen können.

 

Man kann den mathematischen Würfel in Farbe oder holzfarbend kaufen. Mir gefällt die holzfarbene Variante des Materials besser, denn die lässt sich problemlos mit den Cuisenaire Stäbchen verbinden. Montessori bietet ein eigenes farbiges Material, welches dem Farbsystem für Zahlen von Montessori entspricht. 

Falls ein Kind gar keine Probleme mit Zahlen, Mengen und dem Zahlensystem hat, dürfte es das Material sehr schnell verstehen und einsetzen können. Bei Kindern die Schwierigkeiten haben, dass Dezimalsystem auch auf größere Zahlen zu übertragen, könnte man damit beginnen, die "Einer" zu "Stangen", die "Stangen" zu "Platten" und die "Platten" zu "Blöcken" zu ordnen und somit den Aufbau unseres Zahlsystem zu visualisieren. Dies sollte dann durch Zählen (ordinal und kardinal) geübt werden, wobei die eins-zu-eins-Arbeit wichtig, d.h. dass das Kind die Zahl legt und genau dabei benennt. 

Hier findet sich Material, welche zeigt, wie man das Stellenwertsystem mit die Dienes Material übt, in dem dem man die Zahl zum gelegten Material ermittelt.

Hier findet sich in der Abschlussarbeit einer Lerntherapeutin zu "Anschauungsmaterial in der Dyskalkulietherapie" auf Seite 29 eine kurze Ausführung zu dem Dienes-Material. Aufgezeigt wird, wie man das Material als nächsten Schritt auch grafisch darstellen kann. Und nicht zuletzt wird dieses Material auch gern in der Schule bei der Entdeckung des 1000er-Raumes eingesetzt, wie man hier sieht.

Vergleichen von Brüchen mit Cuisenaire Stäbchen

Die farbigen Stäbchen eignen sich sehr gut um auf unkomplizierte Weise Brüche miteinander zu vergleichen. Im Grunde braucht man gar nicht zu rechnen, wenn man verstanden hat, wie man einen Bruch mit den Stäbchen darstellt.

Gehen wir von den Frage aus, ob 2/3 oder 3/4 größer ist. Damit verlassen wir das Gebiet der ganzen natürlichen Zahlen und stellen die Zahl nicht mehr mit einem, sondern mit 2 Stäbchen dar. Am Beispiel der 3 würde dies bedeuten nicht mehr eine Dreier zu legen, sondern 3/3 indem man 3 Einer über dem Dreier anordnet. Bei einer 4 stellen wir die ganze Zahl dar, indem wir 4 Einer über dem Vierer anordnen. 

 

Nun lassen sich auch ganze Zahlen unterteilen und dies lässt sich gerade durch die Darstellung mit den Einern schön zeigen. Wird also ein Teil der ganzen Zahl weggenommen, entsteht ein Bruch, z.B. 2/3 oder auch hier 3/4:

Will man Brüche der Größe nach vergleichen, empfiehlt sich eine ewas andere Legemethode:

Zum Vergleichen der beiden Brüchen bilden wir zunächst den kleinsten gemeinsamen Nenner, bei  2/3 und 3/4 ganz klar 12. Dieser gemeinsame Nenner wird mittels Legen der entsprechenden farbigen Stäbchen ermittelt, d.h. es werden so lange grüne und puprpurne Stäbe in eine Reihe gelegt bis sie auf gleicher Länge enden.

 

Der gemeinsame Nenner von 3 und 4 ist also 12. Nun stellt sich die Frage, wie oft der Nenner des Bruch 2/3 in die 12 und wie oft der Nenner des Bruch 3/4 in die 12 passt.

Legt man die beiden Brüche, nun mit gemeinsamen Nenner, lässt sich wunderbar sehen, dass 9/12 größer ist als 8/12 und somit auch 3/4 mehr ist als 2/3.


Anderes Beispiel: 2/5 und 4/6 - welcher Bruch ist größer?

Der kleinste gemeinsame Nenner ist 30. In die 30 passt der gelbe Fünfer 6 Mal, so dass der Zähler des Bruchs 2/5 6 Mal gelegt werden muss. Der grüne Sechser passt 5 Mal in den gemeinsamen Nenner 30, so dass der Zähler von 4/6 5 Mal gelegt werden muss.

Aus 2/5 wird 12/30 und aus 4/6 wird 20/30. Vergleicht man beide neuen Brüche, so ist 20/30 sehr viel mehr als 12/30 und somit 4/6 auch sehr viel mehr als 2/5.

Hat man einmal das Erweitern des Bruches verstanden, kann man sich das Ergebnis wunderbar ansehen.

Division mit Cuisenaire Stäbchen

Die Cuisenaire-Stäbchen eignen sich wunderbar um Division zu erklären, da durch diese Stäbchen deutlich wird, dass eine Menge aufgeteilt wird. Auch ist sichtbar, was es bedeutet ein Ganzes zu haben und wieviel ein Halbes, ein Drittel oder ein Sechstel ist.

Die Kinder sollten schon ein wenig Multiplikation beherrschen. Es ist aber nicht notwendig, dass das Kind die Multiplikation schon sicher bis zur Zehnerreihe kann. Es geht ja bei der Verwendung der Cuisenaire-Stäbe vor allem um das Verständnis davon, was mit den Mengen passiert. Also kann man die Division auch zeitgleich einführen, wenn man mit dem Kind die Multiplikation bis z.B. 4 besprochen hat. Hierdurch könnten sogar die Umkehraufgaben bei Multiplikation/Division noch besser verstanden werden.

Wichig ist - wie schon bei der Multiplikation - ein wenig praktische Vorarbeit.

1) Zunächst sollte das  Kind also unterschiedliche Mengen in gleich große Mengen aufteilen, z.B. 6 Äpfel für 3 Kinder, 20 Smarties für 5 Kinder, 14 Socken zu je 2 Paaren, 12 Karten zu 4 gleich großen Haufen usw.. Hier solte auch nach eigenen Ideen des Kindes aus seinem Alltag gefragt werden. 

Wichtig: Ein Kind, dass schon Probleme mit dem Erkennen und Ordnen von Mengen hat, wird nie die Hürde der Division nehmen. Es ist immer wichtig mit seinem Kind dort einzusteigen, wo es sich noch sicher fühlt.

2) Abstrakter geht das Ganze, wenn man sein Kind auffordert eine bestimmte Menge an Einer-Stäbchen aufzuteilen, z.B. 18 Einer, wobei jede Reihe aus 6 Einern bestehen soll oder 16 Einer, wobei jede Reihe aus 8 Einern bestehen soll.

 3) Natürlich lassen sich dabei auch andere Stäbe sinnvoll einsetzen, indem z.B. ein Zehner in Zweierstäben dargestellt werden soll.  

Hierzu soll dann die entsprechende Aufgabe aufgeschrieben werden, z.B. wie oft passt der Zweier in den Zehner?

  10 = ? * 2

10 : 2 = ? 

Wie oft passt der Dreier in 21?
 21 = ? * 3
21 : 3 = ?

 4) Gerade da Divison zu den für rechenschwache Kinder schwerer zu verstehenden Bereichen gehört, sollte hier viel praktisch geübt werden. Hierbei ist das wiederholte Legen mit den Stäben entscheidend, da so eine innere Vorstellung von Division entsteht, auf welche das Kind später auch bei größeren Aufgaben zurück greifen kann. Es sollten also möglichst viele Aufgaben folgender Art geübt werden:
- Lege 18 Einer, immer 6 in eine Reihe
- Lege 16 mit Vierer-Stäben
- Lege 20 Spielkarten an 5 Spieler     


Natürlich gibt es auch Mengen, die sich nicht aufteilen lassen. Dann bleibt ein Rest. Dies kann man ganz zu Beginn schon bei den praktischen Übungen mit einfließen lassen. Auch lassen sich mit den Cuisenaire Stäbchen gemischte Brüche ermitteln. Aber soweit möchte ich an dieser Stelle nicht gehen und es in einem anderen Beitrag erklären.

Ich möchte hier unbedingt noch mal auf die Ausführungen von Brühlmeier (unter 11.) zur Division mit Stäbchen verweisen, der den Unterschied von Divisor und Quotient (Messen oder Teilen) erklärt und wie man dieses für das Kind auch sichtbar macht. Sehr spannend, Grundlagenwissen, und war mir leider nicht bewußt. Ich möchte hier auch gern seinen Vorschlag zur Sichtbarmachung zitieren:

"Das Teilen symbolisieret man mit den Stäbchen am besten, indem man ein Zahlfeld sanft auf den Tisch fallen lässt, so dass der Schüler mit eigenen Augen sieht, wie z.B. bei einem Zahlfeld mit 4 schwarzen Stäbchen vier Teile entstehen. 

Beim Messen löst man am besten das Zahlfeld  zuerst in eine Linie auf und misst dann mit einem gleichfarbigen Stäbchen, wie oft es Platz hat. Die Sache ist für die Kinder fast zu leicht." 

Kurzzeitgedächtnis - Gedächtnisstörung

Meine Tochter kam, obwohl sie rein von den Daten kein Frühchen mehr war, auffallend klein und leicht zur Welt. Niemand im Krankhaus oder auch nur einer der 3 Kinderärzte, die wie verschlissen haben, hat je angemerkt, dass die Besonderheiten im Verhalten meiner Tochter damit zusammenhängen könnten. 

Im Kindergarten gab man mir das Gefühl, dass meine Beobachtungen nur aufgrund meiner Überfokussierung bestehen würden. Es handelte sich dabei um einen Montessori-Kindergarten, in welchem in jeder Gruppe eine heilpädagogische Kraft zum Team gehörte. Nur gab es wohl wesentlich zeitraubendere Fälle und meine Tochter war sehr angepasst oder zog sich raus. Sie reagierte psychosomatisch, wollte nicht in den Kindergarten. An der Art des Umgang mit ihr konnte es natürlich nicht liegen.

Ich besuchte mit meiner Tochter eine kinderpsychologischen Praxis, die zwar Auffälligkeiten im Bereich der Wahrnehmung und ihr auffallend sensibles Verhalten bemerkten, aber lange brauchten bis sie mit einem Test feststellten, dass meine Tochter sowohl eine Rechenstörung als auch bereits ein sehr frustriertes Arbeitsverhalten aufwies. Durch einen überraschend kurzen Termin im WOI in Hamburg (ein SPZ), erfuhr ich dann von ihrer leichten infantilen Zerebralparese. Für drei Kinderärzte und das gesamte Team des Kindergartens nicht sichtbar. Da war sie bereits fast 7 Jahre alt. Sie hat eine sehr leichte Ausprägung, es betrifft fast nur den linken Fuß. Der Zehenspitzengang war häufig auffällig, aber natürlich nichts, weswegen sich eine Kinderarzt verunsichern lässt. Dass mein Kind sich motorisch eher grenzwertig entwickelt hat, immer hart am Raster, gilt ja heute nicht mehr als bemerkenswert. Wie oft habe ich gehört: jedes Kind hat sein eigenes Tempo. 

Infantile Zerebralparese bewirkt eine Entwicklungsverzögerung beim Kind, es braucht immer ein wenig länger - je nach Grad der Ausprägung. Schlimmer ist aber, dass ein sensibles Kind dies merkt. Meine Tochter war mutlos, schüchtern, zurückhaltend. Ein richtiger Schlag fürs Selbstbewußtsein, wenn man nicht weiß, warum so vieles so schwer ist, z.B. auf einem Bein springen oder im Klettergerüst nach oben klettern. Dann macht man halt was anderes.

Ich meldete sie zum psychomotorischen Kinderturnen an, was ihr einen riesigen Push brachte, wenn es auch einfach 1 Jahr dauerte. Schwimmen konnte sie, nachdem ich mit ihr wegen ihrer Wasserangst 1 Jahr zur Wassergewöhnung und 1/2 Jahr für Bronze zum Schwimmen gegangen bin. Manche Dinge müssen sein. 
Außerdem geht sie seit 9 Monaten zum Karate. Ein wunderbarer Sport für Konzentration und Gleichgewicht. Und einen Gürtel zu haben macht zudem noch sehr stolz. 

Leider ließen sich die grobmotorischen Fortschritte nicht auf die Schule übertragen. Das letzte Zeugnis machte deutlich, dass es Schwierigkeiten in Konzentration, Aufmerksamkeit, Zieloriertiertheit usw. gibt. Wußte ich schon, als Mutter merkt man das. Also habe ich wieder Termine bei ihrer Psychologin gemacht. Es wurde wieder getestet. Meine Tochter hasst diese Testerei inzwischen verständlicherweise. Aber es hat sich wieder gelohnt.

Bei herausragenden Leistungen im Bereich Sprache und Logik fiel auf, dass sie ein geradezu unterirdisches Kurzzeitgedächtnis hat. Bingo. Das erklärt so vieles. Sie ist wie Dori, der Fisch von "Findet Nemo".  Während sie sich gut merken kann, was sie sieht, vergisst sie abstrakte Aufforderungen, die sie nur hört fast sofort wieder bzw. muss mit sehr viel Anstrengung dagegen arbeiten. Der Unterricht ist für sie mühsam. Die Lehrer erklären Nomen und Verben mündlich oder studieren Liedertext mündlich ein. Bei dieser Art des Vermittelns brauchte sie sehr lange um sich Erklärungen oder Texte zu merken. Sie hat gemerkt, dass andere es schneller konnten und nicht gewußt warum. Sie fühlte sich dumm. Was soll man auch sagen, wenn Mama zu Hause fragt, was ist denn jetzt ein Nomen und jegliche Erklärung dazu schon wieder verflogen ist. 
Daher war es auch so wichtig, herauszubekommen, was dahinter steckt. So kann sie erst lernen damit umzugehen und Taktiken zu entwickeln. Auch die Lehrer müssen sich darauf einstellen. Bereit dazu sind sie und ich bin gespannt, wie wir das schaffen.

Nun ist aber auch klar, warum sie so gut auf die Cuisenaire Stäbchen angesprochen hat. Sie hat zu meinen mündlichen Erklärungen auch immer ein Bild. Sie konnte sich neben der Erklärung auch die Handlung einprägen. Sicher hat meine Tochter Schwächen im mathematischen Bereich. Ich frage mich aber auch, was war zuerst da - das Ei oder das Huhn? Denn wie kann ein Kind die Grundlagen der Mathematik erlernen, wenn sie sie zu schnell vergisst und zu wenig wiederholt wird. Klar braucht sie dadurch länger. Schon das Erlernen der Zahlen wird sie in der ersten Klasse stark gefordert haben, zumal sie häufig die Aufgabenstellung nicht verstanden hat. Sie hat dann einfach den Anschluss verloren, obwohl sie so ehrgeizig war und  versuchte mitzuhalten. 

Für mich ist es daher entscheidend auch immer zu versuchen, die Ursache für die Rechenschwäche zu ermitteln. Einen ersten Schritt sind wir in diese Richtung jetzt gegangen und ein oder zwei andere müssen leider noch folgen. Aber meine Tochter in die Schule gehen zu lassen und zu wissen, dass sie unter ihren Fähigkeiten bleibt und sich selbst für dumm hält, werde ich nicht akzeptieren.

Teilbarkeit von Zahlen und Primzahlen mit Cuisenaire

Beginnt man in der Schule mit Multiplikation und Division startet man immer mit ganzen, teilbaren Zahlen. Teilbar ist ein Zahl durch eine andere, wenn bei der Division der ersten Zahl durch die zweite Zahl kein Rest übrig bleibt. 

Für  kleiner Zahlen, gibt es die Teilbarkeitsregeln, wobei ich die meisten gar nicht kannte.

• Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn sie gerade ist, also ihre letzte Ziffer eine 2, 4, 6, 8 oder 0 ist. 
• Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme, also die Summe all ihrer Ziffern, durch 3 teilbar ist.
• Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn ihre letzten 2 Stellen durch 4 teilbar sind.
• Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Stelle eine 5 oder eine 0 ist.
• Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist, also wenn sie gerade ist und ihre Quersumme durch 3 teilbar ist (s.o.).
• Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn ihre letzten 3 Stellen durch 8 teilbar sind.
• Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
• Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Stelle eine 0 ist.
• Eine Zahl ist durch 12 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 4 teilbar ist.
• Eine Zahl ist durch 15 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 5 teilbar ist.
• Eine Zahl ist durch 18 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 9 teilbar ist.
• Eine Zahl ist durch 20 teilbar, wenn ihre letzte Stelle eine 0 und ihre vorletzte Stelle gerade ist.

Kinder sollten aber auch erfahren, wie man Teilbarkeit (Faktoren) ermitteln kann. Und dies geht mit den Stäbchen ganz von selbst. Man legt zunächst die Zahl, welche untersucht werden soll, zum Beispiel 8:

Als nächstes legt man alle Möglichkeiten, die mit Stäbchen gleicher Farbe möglich sind.

Beim Beispiel "8" ergibt sich somit, dass die 8 durch sich selbst und durch 1, 2 und 4 teilbar ist.

Noch ein paar Legebeispiele:

 

 

 

 

 

Eine Zahl, bei der es nur die Möglichkeit gibt sie durch Einerwürfel darzustellen, ist eine Primzahl. 

 

Bei größeren Zahlen wird die einzelne Zahl durch mehrere Stäbchen (gleicher Kombination) gelegt, z.B.: bei 22, 2x die 11.

Hier ist  das ganze nochmal wunderbar in eine Video dargestellt, leider auf englisch.